加州理工学院研究人员帮助破解了数十年未解决的数学难题

【据美国加州理工学院网站2018年8月23日报道】加州理工学院量子信息研究所和微软的研究人员解决了一个数学物理领域的世界难题。这个问题和量子霍尔效应有关，是由Michael Aizenman（普利斯顿大学数学物理教授，前国际数理学会主席）在1999年提出的13个最重要的未解决的问题。。

1879年，霍尔在一次开创性实验中发现了最初的量子霍尔效应，该实验首次表明，在垂直于表面的磁场存在下，金属中的电流可以偏转。后来，在1980年，德国实验物理学家克劳斯·冯·克利钦（Klaus von Klitzing）在明显更低的温度和更强的磁场下进行了霍尔最初的电导实验，结果却发现电流以量子化的方式偏转。换言之，随着磁场强度的增加，金属的电导率的上升不是像经典物理学所预测的那样是逐渐的或线性的，而是逐步向上发展的。由于一发现，冯·克利钦在1985被授予诺贝尔物理学奖。在冯·克利钦发现量子霍尔效应两年后，实验学家Horst Störmer和Daniel Tsui发现了更令人费解的东西：在极端条件下（更低的温度和更强的磁场），霍尔电导率是原来观察到的分数倍，好像电子本身被分成更小的粒子，每个粒子带有部分电荷。Horst Störmer和Daniel Tsui以及理论物理学家Robert Laughlin在1998年共同分享了诺贝尔物理学奖。

整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应都表明这些系统中的电子以某种统一的方式、全局的方式共同作用，尽管它们的正常行为倾向于像单个的乒乓球那样相互弹跳。即使这个领域一直在不断发展，电子如何做到这一点的问题依旧没有解决。

早在2008年，研究人员就开始在洛斯阿拉莫斯国家实验室研究这个问题，最终解决方案的关键是拓扑，一种数学描述物体形状的方法。在研究人员研究之前，就有人引入了拓扑学来分析量子霍尔效应，但是这些研究人员被迫做出两个假设之一，要么描述系统的数学空间的全局视图等于局部视图，要么在系统中的电子没有相互作用。第一个数学假设被怀疑是错误的，而第二个物理假设是不现实的。这两个假设最终阻碍了数学物理学界，促使他们把量子霍尔效应指定为世纪之交一个重大的未解决问题。研究人员通过一种新颖的方法成功将全局视图与局部视图连接起来，成功地消除了假设。为了说明他们的方法，想象一下远离地球，看到一个没有山和山谷的球体，你可能认为可以在地球上毫无障碍地四处旅行。但是当你回到地球时，你会意识到你不可能穿越山脉和山谷。在数学意义上，研究人员的解决方案是确定一个开放的、平坦的路径，它不会遇到任何倾斜或高峰，本质上是匹配从远处感知到的全局幻觉。

研究人员的实际证明当然更复杂；最初的证明总共有40页的数学推理，但是经过艰苦的编辑过程，被缩减到30页。他们在2009提交了他们的解决方案，但是专家们需要时间来验证结果，直到2015才正式发表在数学物理通讯中。发表两年半后，数学物理学家社区正式承认了这一解决方案，并在网站上把这个问题列为“已解决”。证明结果所需的一组假设结果比专家预期的要小，这意味着宏观量子效应，比如量子霍尔效应，应该出现在几个不同的环境中。这为量子计算和其他量子科学打开了新的大门和思路。

这项研究得到了美国国家科学基金的资助，相关研究论文《Quantization of Hall Conductance for Interacting Electrons on a Torus》发表在期刊数学物理通讯（Communications in Mathematical Physics）上。